Un gruppo G, denotato con , è un insieme di elementi con una operazione binaria indicata con il punto . Il punto è lo stesso simbolo con cui viene normalmente indicata la moltiplicazione, ma nel caso della matematica astratta, tale simbolo, indica una operazione arbitraria qualsiasi.
Tale operazione associa ad ogni coppia (a, b) di elementi in un elemento in in modo che i seguenti assiomi siano rispettati:

Se un gruppo ha un numero finito di elementi, ci si riferisce ad esso come gruppo finito, e l'ordine del gruppo è uguale al numero di elementi del gruppo. Altrimenti si tratta di gruppo infinito.

Un gruppo è abeliano se soddisfa la seguente condizione:

Quando un gruppo applica l'addizione:

• l'elemento identità è 0;
• l'elemento inverso di è ;
• e la sottrazione è definita come ;

Definiamo mediante una notazione con esponente di un gruppo come l'applicazione ripetuta dell'operazione () del gruppo, quindi . Inoltre diciamo che come l'elemento identità e , dove è l'elemento inverso di in quel gruppo. Un gruppo è ciclico se tutti gli elementi di è una potenza di (k è un intero) di un elemento fissato del gruppo . L'elemento è un generatore del gruppo . Un gruppo ciclico può essere finito o no.

Un anello R (ring) a volte indicato come , è un insieme di elementi con due operazioni, chiamate addizione e moltiplicazione (per rappresentare la moltiplicazione non utilizzeremo il simbolo ma la concatenazione degli elementi che devono essere moltiplicati ) in modo che per tutti gli a, b, c in R valgono i seguenti assiomi:

In essenza, un anello è un insieme di elementi in cui possiamo effettuare la somma, la sottrazione () e la moltiplicazione senza uscire dall'insieme.

Un anello è commutativo se soddisfa la seguente proprietà:

Un campo F, indicato con , è un insieme di elementi con due operazioni binarie chiamate addizione e moltiplicazione in modo che per tutti gli a, b, c in F valgono i seguenti assiomi:

(A1-M6): F è un dominio integrale

(M7) inverso moltiplicativo: per ogni elemento a in F, eccetto 0, c'è un elemento in F in modo che

Un campo è, essenzialmente in cui possiamo praticare addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione senza uscire dall'insieme. La divisione è definita come

Un campo F quindi è:

• un gruppo abeliano rispetto l'addizione
• un insieme tale che gli elementi diversi da 0 di F formano un gruppo abeliano rispetto la moltiplicazione
• un insieme tale che valgono le proprietà distributive

I campi infiniti non sono particolarmente interessanti dal punto di vista della crittografia. Mentre quelli finiti giocano un ruolo fondamentale in diversi algoritmi di crittografia. Può essere dimostrato che l'ordine di un campo finito (numero di elementi nel campo) deve essere una potenza di un primo , dove n è intero positivo. Un campo finito di ordine è indicato come dove GF sta per Galois Field (campo di Galois), in onore del matematico Galois che fu il primo a studiare i campi finiti. In particolare per la crittografia due casi sono importanti. Per n = 1, abbiamo il campo finito GF(p), tale campo finito ha una struttura diversa rispetto ai GF(p) dove p > 1. I campi finiti della forma , sono particolarmente interessanti da un punto di vista crittografico.

Per un dato primo, p, definiamo il campo di ordine p, , come un insieme di di interi con le operazioni aritmetiche in modulo p.
L'insieme degli interi , con le operazioni aritmetiche in modulo n, è un anello commutativo. Osserviamo inoltre che qualsiasi intero in ha un moltiplicativo inverso se e solo se quell'intero è relativamente primo con n.

Se n è primo, allora tutti gli elementi diversi da zero in sono relativamente primi con n e quindi esistono inversi moltiplicativi per tutti gli elementi diversi da 0 in . Per cui, per possiamo aggiungere la seguente proprietà:

Poiché w è relativamente primo con p, se moltiplichiamo tutti gli elementi di per w, avremo come resto risultante tutti gli elementi di permutati. Quindi, esattamente uno dei resti risultanti ha valore 1. Quindi c'è un qualche intero in che quando viene moltiplicato per w restituisce come resto 1. Quell'intero è il moltiplicativo inverso di w indicato come .

Quindi per a e b in con :
se:

allora:

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per l'inverso moltiplicativo di a abbiamo:

Addizione

Moltiplicazione

In questo caso l'addizione è uno XOR e la moltiplicazione è equivalente all'AND.

Inversi moltiplicativi a additivi
Quest'ultima tabella merita un chiarimento:
essendo in GF(2) ed essendo le operazioni di addizione e moltiplicazione in modulo 2.
L'inverso additivo di 0 è 0, poiché , mentre l'inverso additivo di 1 è 1, poiché .
Stesso ragionamento vale per gli inveri moltiplicativi:
l'inverso moltiplicativo di 0 non c'è, poiché , infatti il risultato dovrebbe essere 1 per ottenere l'inverso. L'inverso moltiplicativo di 1 è 1, poiché , non è 0 poiché . Lo 0, può non avere inverso moltiplicativo, tutti gli altri si per essere considerati dei campi di Galois.

L'insieme dei numeri interi in con operazioni di addizione e moltiplicazione in modulo 8, non costituisce un campo di Galois. Mentre l'insieme degli interi in si: .
Di seguito le tabelle delle loro operazioni e degli inversi:

Come si vede l'insieme in ci sono diversi numeri, oltre lo zero, a non avere un inverso moltiplicativo. Questo non lo rende un campo di Galois.

Per valori piccoli di p è possibile costruire una tabella come si vede nella figura sopra per trovare gli inversi moltiplicativi di un certo in insieme . Tuttavia per valori grandi di p non è altrettanto facile.

Diventa semplice sfruttando l'algoritmo esteso di Euclide:
Se , allora avremo . Usando l'aritmetica modulare possiamo dire:
Ma se , allora .